随着我们为期一年的研究项目接近尾声，该项目旨在探究五、六岁儿童的依赖能力会受到何种影响。在此，我们回顾一下我们的经历。导致我们提出这个话题的是最近在数学教育叙事中流行的变异理论(Marton & Tsui, 2005)，以及我们对这些讨论与关键第一阶段教学(4 - 7岁儿童)相关性的关注。

我们的笔记显示，在2018年夏天，我们一直在思考变异理论与年轻学习者的相关性，特别是我们如何看到它在年轻的课堂上被解释——也就是，作为练习、作业或教科书示例。我们讨论了如何重新聚焦变异理论的中心原则，使学习者注意到潜在的数学关系，从而反思教师的设计和任务的顺序。我们所有的想法都集中在操纵的选择和使用上，我们知道，通过建模和表示数学思想，以及帮助孩子们理解他们正在解决的问题，可以提前学习机会(Griffiths, Back， & Gifford, 2016)。乐动滚球

我们最初提出的两个问题如下。

• 为什么我们会在数学中使用这种特殊的表示?
• 孩子们知道在使用这个资源时他们应该注意到什么吗?

我们计划在一年级和接待室开展工作，探索幼儿对数字的理解在重要方面的变化。我们的资金足够我们在第一年，也就是英语国家课程的第一年，集中在小群体的学习上，我们选择了那些被评估为即将从“计数全部”转变为“计数”的孩子。这一举措在研究中被明确指出是所有计数系统的基础，因此对儿童的数学发展至关重要(Nunes & Bryant, 2009)，而且，这是一些7岁以下的儿童发现困难的事情(Bobis等人，2005;Young-Loveridge, 2011;汤普森,2013)。我们的经验证实了这两点。此外,在我们的经验中这是第一年,存在特殊的压力模仿老学生的期望是什么,我们听到许多第一年教师被要求参与数学任务的组,实际上是5到6岁大孩子适合关键阶段2及以上的学生。

我们选择的与计数相关的变异理论的操作是目前在英语课堂中普遍使用的。

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计数器

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每一种方法都会以微妙的不同方式吸引学习者注意到潜在的数学关系。我们感兴趣的是调查这些操纵手段是否在教孩子们学会依靠方面有特别的作用。

“我们的研究发现了一些必要的因素抓握孩子们需要能够完成，才能有效地依靠。’

我们的研究使我们确定了一些必要的条件抓握孩子们需要能够完成，才能有效地依靠。这些与儿童对基数的理解发展有关，也与我们在文献中读到的相符。我们没有意识到的是，在进行计数时，可能有一个以前没有考虑到的和额外的基数方面需要考虑。这个额外的方面是识别作为标签的数字在包含许多项的桶上，如简写集合中包含的项目的数量，用同样的方式，学生在一个集合中识别数字subitising，标志性的表示或作文．

回顾我们的旅程，有两件事触动了我们。首先，为了使项目易于管理，保持项目的重点是非常重要的(尽管我们都在这方面投入了比计划更多的时间)。其次，我们都是有经验的数学教育者和研究人员。我们所观察到的结果让我们惊讶，并支持了这样一个观点:所有的研究，无论规模多么小，都有助于每个人的发展，以及对整个发展中的数学教育图景有所贡献。

结果，我们最初提出的问题几乎没有改变，反而指导了我们的学习。我们相信，对于年轻的学习者来说，变化不是关于分级的例子或工作表问题，而是更广泛地吸引学习者注意到潜在的数学关系。

总而言之，我们的研究结果支持了国际上的研究结果，即对于这个年龄段的孩子来说，依靠是一个复杂的过程，精心选择操控手段可以支持这种理解，同时意识到上述亚技能对建立这种理解很重要。

进一步探讨以下问题的研究将是有用的。

• 我们不应该指望一岁的孩子就能掌握这些东西吗?
• 操纵手段的选择和使用如何帮助其发展?

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Helen J Williams和Ruth Trundley的项目是英国课程论坛2018/2019年度课程调查拨款的三位获奖者之一。这项拨款每两年发放一次，以支持由学校和大学领导的研究，重点是课程的查询和调查在这里为更多的信息。

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参考文献

Bobis, Clarke, B.， Clarke, D.， Thomas, G.， Wright, R.， Young-Loveridge, J.， & Gould, P.(2005)。支持教师发展幼儿数学思维:三个大型案例。数学教育研究杂志，16(3) 27-57。

Griffiths, R.， Back, J.， & Gifford, S.(2016)。制作数字:使用操纵来教算术．牛津:牛津大学出版社

徐文华(2005)。课堂话语与学习空间新泽西州马沃:厄尔鲍姆

Nunes, T. & Bryant, P.(2009)。数学学习中的关键认识。论文二:理解整数．伦敦:纳菲尔德基金会

汤普森,i(2013)。计数:第一部分-从“计数全部”到“计数”。未发表的论文。

Young-Loveridge, j .(2011)。评估新西兰儿童的数学思维:最初的学年。早期儿童发展和护理，181(2), 267 - 276。